VELOCIDADE ANGULAR: DEFINIÇÃO, FÓRMULA, CÁLCULO E EXERCÍCIOS - FISICA - 2024

A velocidade angular é uma medida da velocidade de rotação e é definida como o ângulo que gira o vetor posição do objeto em rotação, por unidade de tempo. É uma magnitude que descreve muito bem o movimento de uma infinidade de objetos que giram constantemente por toda parte: CDs, rodas de carros, máquinas, a Terra e muitos mais.

Um diagrama do «olho de Londres» pode ser visto na figura a seguir. Representa o movimento de um passageiro representado pelo ponto P, que segue o caminho circular, denominado c:

Representação esquemática do caminho circular que segue um passageiro do «olho de Londres». Fonte: self made.

O passageiro ocupa a posição P no instante t e a posição angular correspondente a esse instante é ϕ.

A partir do instante t, decorre um período de tempo Δt. Neste período, a nova posição do passageiro pontual é P 'e a posição angular aumentou em um ângulo Δϕ.

Como a velocidade angular é calculada?

Para grandezas rotacionais, as letras gregas são amplamente utilizadas para diferenciá-las das grandezas lineares. Portanto, inicialmente a velocidade angular média ω _m é definida como o ângulo percorrido em um determinado período de tempo.

Então, o quociente Δϕ / Δt representará a velocidade angular média ω _m entre os instantes t e t + Δt.

Se você quiser calcular a velocidade angular apenas no instante t, você deve calcular a razão Δϕ / Δt quando Δt ➡0:

Relação entre velocidade linear e angular

A velocidade linear v, é o quociente entre a distância percorrida e o tempo necessário para percorrê-la.

Na figura acima, o arco percorrido é Δs. Mas esse arco é proporcional ao ângulo percorrido e ao raio, sendo cumprida a seguinte relação, que é válida desde que Δϕ seja medido em radianos:

Δs = r ・ Δϕ

Se dividirmos a expressão anterior pelo lapso de tempo Δt e tomarmos o limite quando Δt ➡0, obteremos:

v = r ・ ω

Movimento rotacional uniforme

Na foto está o famoso 'London eye', uma roda giratória de 135m de altura que gira lentamente para que as pessoas possam embarcar nas cabines de sua base e apreciar a paisagem londrina. Fonte: Pixabay.

Um movimento rotacional é uniforme se, em qualquer instante observado, o ângulo percorrido for o mesmo no mesmo período de tempo.

Se a rotação for uniforme, então a velocidade angular em qualquer instante coincide com a velocidade angular média.

Além disso, ao fazer uma volta completa, o ângulo percorrido é de 2π (equivalente a 360º). Portanto, em uma rotação uniforme, a velocidade angular ω está relacionada ao período T, pela seguinte fórmula:

f = 1 / T

Ou seja, em uma rotação uniforme, a velocidade angular está relacionada à frequência por:

ω = 2π ・ f

Problemas resolvidos de velocidade angular

Exercício 1

As cabines da grande roda giratória conhecida como "London Eye" movem-se lentamente. A velocidade das cabines é de 26 cm / se a roda tem 135 m de diâmetro.

Com esses dados calcule:

i) A velocidade angular da roda

ii) A frequência de rotação

iii) O tempo que uma cabine leva para fazer uma volta completa.

Respostas:

i) A velocidade v em m / s é: v = 26 cm / s = 0,26 m / s.

O raio é a metade do diâmetro: r = (135 m) / 2 = 67,5 m

v = r ・ ω => ω = v / r = (0,26 m / s) / (67,5 m) = 0,00385 rad / s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0,00385 rad / s) / (2π rad) = 6,13 x 10 ^-4 voltas / s

f = 6,13 x 10 ^ -4 voltas / s = 0,0368 voltas / min = 2,21 voltas / hora.

iii) T = 1 / f = 1 / 2,21 volta / hora = 0,45311 hora = 27 min 11 seg

Exercício 2

Um carrinho de brinquedo se move em uma pista circular com raio de 2m. Em 0 s sua posição angular é 0 rad, mas depois de um tempo t sua posição angular é dada por:

φ (t) = 2 ・ t

Determinar:

i) A velocidade angular

ii) A velocidade linear em qualquer instante.

Respostas:

i) A velocidade angular é a derivada da posição angular: ω = φ '(t) = 2.

Em outras palavras, o carrinho de brinquedo sempre tem uma velocidade angular constante igual a 2 rad / s.

ii) A velocidade linear do carro é: v = r ・ ω = 2 m ・ 2 rad / s = 4 m / s = 14,4 Km / h

Exercício 3

O mesmo carro do exercício anterior começa a parar. Sua posição angular em função do tempo é dada pela seguinte expressão:

φ (t) = 2 ・ t - 0,5 ・ t ²

Determinar:

i) A velocidade angular em qualquer instante

ii) A velocidade linear em qualquer instante

iii) O tempo que leva para parar a partir do momento em que começa a desacelerar

iv) O ângulo percorrido

v) distância percorrida

Respostas:

i) A velocidade angular é a derivada da posição angular: ω = φ '(t)

ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t - 0,5 ・ t ²)' = 2 - t

ii) A velocidade linear do carro em qualquer instante é dada por:

v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4 - 2 t

iii) O tempo que leva para parar a partir do momento em que começa a desacelerar, é determinado pelo conhecimento do momento em que a velocidade v (t) torna-se zero.

v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2

Isso significa que ele pára 2 s após começar a frear.

iv) No período de 2s desde o momento em que começa a frear até parar, é percorrido um ângulo dado por φ (2):

φ (2) = 2 ・ 2 - 0,5 ・ 2 ^ 2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114,6 graus

v) No período de 2 s do início da frenagem até a parada, é percorrida uma distância s dada por:

s = r · φ = 2m · 2 rad = 4 m

Exercício 4

As rodas de um carro têm 80 cm de diâmetro. Se o carro viaja a 100 km / h. Encontre: i) a velocidade angular de rotação das rodas, ii) a frequência de rotação das rodas, iii) O número de voltas que a roda faz em uma viagem de 1 hora.

Respostas:

i) Em primeiro lugar, vamos converter a velocidade do carro de Km / h para h / s

v = 100 Km / h = (100 / 3,6) m / s = 27,78 m / s

A velocidade angular de rotação das rodas é dada por:

ω = v / r = (27,78 m / s) / (0,4 m) = 69,44 rad / s

ii) A frequência de rotação das rodas é dada por:

f = ω / 2π = (69,44 rad / s) / (2π rad) = 11,05 volta / s

A frequência de rotação é geralmente expressa em revoluções por minuto rpm

f = 11,05 volta / s = 11,05 volta / (1/60) min = 663,15 rpm

iii) O número de voltas que a roda dá em uma viagem de 1 hora é calculado sabendo que 1 hora = 60 min e que a frequência é o número de voltas N dividido pelo tempo em que essas N voltas são feitas.

f = N / t => N = f · t = 663,15 (voltas / min) x 60 min = 39788,7 voltas.

Referências

1. Giancoli, D. Physics. Princípios com aplicativos. 6ª Edição. Prentice Hall. 106-108.
2. Resnick, R. (1999). Fisica. Volume 1. Terceira edição em espanhol. México. Compañía Editorial Continental SA de CV 67-69.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Física para Ciência e Engenharia. Volume 1. 7º. Edição. México. Editores da Cengage Learning. 84-85.
4. geogebra.org