- Definição e fórmulas
- Rotação uniforme
- Relação entre velocidade angular e velocidade linear
- Exercícios resolvidos
- -Exercício 1
- Solução
- -Exercício 2
- Solução
- Referências
A velocidade angular média de rotação é definida como o ângulo girado por unidade de tempo do vetor posição de um ponto que descreve o movimento circular. As pás de um ventilador de teto (como a mostrada na figura 1) seguem um movimento circular e sua velocidade angular média de rotação é calculada tomando o quociente entre o ângulo girado e o tempo em que esse ângulo foi percorrido.
As regras que o movimento rotacional segue são um tanto semelhantes às conhecidas para o movimento translacional. As distâncias percorridas também podem ser medidas em metros, porém as magnitudes angulares são especialmente relevantes porque facilitam muito a descrição do movimento.
Figura 1. As pás da ventoinha têm velocidade angular. Fonte: Pixabay
Em geral, as letras gregas são usadas para quantidades angulares e as letras latinas para as quantidades lineares correspondentes.
Definição e fórmulas
Na figura 2, o movimento de um ponto em um caminho circular c é representado. A posição P do ponto corresponde ao instante t e a posição angular correspondente a esse instante é ϕ.
A partir do instante t, decorre um período de tempo Δt. Nesse período, a nova posição do ponto é P 'e a posição angular aumentou em um ângulo Δϕ.
Figura 2. Movimento circular de um ponto. Fonte: self made
A velocidade angular média ω é o ângulo percorrido por unidade de tempo, de modo que o quociente Δϕ / Δt representará a velocidade angular média entre os tempos t e t + Δt:
Como o ângulo é medido em radianos e o tempo em segundos, a unidade para a velocidade angular média é rad / s. Se quisermos calcular a velocidade angular apenas no instante t, teremos que calcular a razão Δϕ / Δt quando Δt ➡0.
Rotação uniforme
Um movimento rotacional é uniforme se, em qualquer instante observado, o ângulo percorrido for o mesmo no mesmo período de tempo. Se a rotação for uniforme, então a velocidade angular em qualquer instante coincide com a velocidade angular média.
Em um movimento rotacional uniforme, o tempo em que uma revolução completa é feita é chamado de período e é denotado por T.
Além disso, quando uma volta completa é feita, o ângulo percorrido é de 2π, portanto, em uma rotação uniforme, a velocidade angular ω está relacionada ao período T, pela seguinte fórmula:
A frequência f de uma rotação uniforme é definida como o quociente entre o número de voltas e o tempo utilizado para percorrê-las, ou seja, se N voltas forem feitas no período de tempo Δt então a frequência será:
f = N / Δt
Uma vez que uma curva (N = 1) é percorrida no tempo T (o período), a seguinte relação é obtida:
f = 1 / T
Ou seja, em uma rotação uniforme a velocidade angular está relacionada com a frequência através da relação:
ω = 2π ・ f
Relação entre velocidade angular e velocidade linear
A velocidade linear v, é o quociente entre a distância percorrida e o tempo necessário para percorrê-la. Na figura 2, a distância percorrida é o comprimento do arco Δs.
O arco Δs é proporcional ao ângulo percorrido Δϕ e ao raio r, sendo cumprida a seguinte relação:
Δs = r ・ Δϕ
Desde que ϕϕ seja medido em radianos.
Se dividirmos a expressão anterior pelo lapso de tempo Δt, obteremos:
(Δs / Δt) = r ・ (Δϕ / Δt)
O quociente do primeiro membro é a velocidade linear e o quociente do segundo membro é a velocidade angular média:
v = r ・ ω
Exercícios resolvidos
-Exercício 1
As pontas das pás do ventilador de teto mostradas na figura 1 movem-se com uma velocidade de 5 m / se as pás têm um raio de 40 cm.
Com esses dados, calcule: i) a velocidade angular média da roda, ii) o número de voltas que a roda dá em um segundo, iii) o período em segundos.
Solução
i) A velocidade linear é v = 5 m / s.
O raio é r = 0,40 m.
A partir da relação entre a velocidade linear e a velocidade angular, resolvemos a última:
v = r ・ ω => ω = v / r = (5 m / s) / (0,40 m) = 12,57 rad / s
ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (12,57 rad / s) / (2π rad) = 2 voltas / s
iii) T = 1 / f = 1 / (2 voltas / s) = 0,5 s para cada volta.
-Exercício 2
Um carrinho de brinquedo se move em uma pista circular com raio de 2m. Em 0s sua posição angular é 0 rad, mas após o tempo t sua posição angular é
φ (t) = 2 ・ t.
Com esses dados
i) Calcule a velocidade angular média nos seguintes intervalos de tempo;; e finalmente no lapso.
ii) Com base nos resultados da parte i) O que pode ser dito sobre o movimento?
iii) Determine a velocidade linear média no mesmo período de tempo da parte i)
iv) Encontre a velocidade angular e a velocidade linear para qualquer instante.
Solução
i) A velocidade angular média é dada pela seguinte fórmula:
Passamos a calcular o ângulo percorrido e o lapso de tempo decorrido em cada intervalo.
Intervalo 1: Δϕ = ϕ (0,5s) - ϕ (0,0s) = 2 (rad / s) * 0,5s - 2 (rad / s) * 0,0s = 1,0 rad
Δt = 0,5s - 0,0s = 0,5s
ω = Δϕ / Δt = 1,0rad / 0,5s = 2,0 rad / s
Intervalo 2: Δϕ = ϕ (1,0s) - ϕ (0,5s) = 2 (rad / s) * 1,0s - 2 (rad / s) * 0,5s = 1,0 rad
Δt = 1,0s - 0,5s = 0,5s
ω = Δϕ / Δt = 1,0rad / 0,5s = 2,0 rad / s
Intervalo 3: Δϕ = ϕ (1,5s) - ϕ (1,0s) = 2 (rad / s) * 1,5s - 2 (rad / s) * 1,0s = 1,0 rad
Δt = 1,5s - 1,0s = 0,5s
ω = Δϕ / Δt = 1,0rad / 0,5s = 2,0 rad / s
Intervalo 4: Δϕ = ϕ (1,5s) - ϕ (0,0s) = 2 (rad / s) * 1,5s - 2 (rad / s) * 0,0s = 3,0 rad
Δt = 1.5s - 0.0s = 1.5s
ω = Δϕ / Δt = 3,0rad / 1,5s = 2,0 rad / s
ii) Tendo em vista os resultados anteriores, em que a velocidade angular média foi calculada em diferentes intervalos de tempo, obtendo-se sempre o mesmo resultado, parece indicar que se trata de um movimento circular uniforme. No entanto, esses resultados não são conclusivos.
A maneira de garantir a conclusão é calcular a velocidade angular média para um intervalo arbitrário: Δϕ = ϕ (t ') - ϕ (t) = 2 * t' - 2 * t = 2 * (t'-t)
Δt = t '- t
ω = Δϕ / Δt = 2 * (t'-t) / (t'-t) = 2,0 rad / s
Isso significa que o carrinho de brinquedo tem uma velocidade angular média constante de 2 rad / s em qualquer período de tempo considerado. Mas você pode ir mais longe se calcular a velocidade angular instantânea:
Isso é interpretado como se o carrinho de brinquedo sempre tivesse velocidade angular constante = 2 rad / s.
Referências
- Giancoli, D. Physics. Princípios com aplicativos. 6ª Edição. Prentice Hall. 30-45.
- Kirkpatrick, L. 2007. Physics: A Look at the World. 6 ta Edição abreviada. Cengage Learning. 117
- Resnick, R. (1999). Fisica. Volume 1. Terceira edição em espanhol. México. Compañía Editorial Continental SA de CV 33-52.
- Serway, R., Jewett, J. (2008). Física para Ciência e Engenharia. Volume 1. 7º. Edição. México. Editores da Cengage Learning. 32-55.
- Wikipedia. Velocidade angular. Recuperado de: wikipedia.com