VELOCIDADE INSTANTÂNEA: DEFINIÇÃO, FÓRMULA, CÁLCULO E EXERCÍCIOS - FISICA - 2025

A velocidade instantânea é definida como a mudança instantânea da mudança de tempo. É um conceito que adiciona grande precisão ao estudo do movimento. E é um avanço em relação à velocidade média, cujas informações são muito gerais.

Para obter a velocidade instantânea, vamos examinar o menor intervalo de tempo possível. O cálculo diferencial é a ferramenta perfeita para expressar essa ideia matematicamente.

A velocidade instantânea mostra a velocidade do celular em cada ponto de sua jornada. Fonte: Pixabay.

O ponto de partida é a velocidade média:

Esse limite é conhecido como derivado. Na notação de cálculo diferencial, temos:

Desde que o movimento seja restrito a uma linha reta, a notação vetorial pode ser dispensada.

Cálculo da velocidade instantânea: interpretação geométrica

A figura a seguir mostra a interpretação geométrica do conceito de derivada: é a inclinação da reta tangente à curva x (t) vs. t em cada ponto.

A velocidade instantânea em P é numericamente igual à inclinação da linha tangente à curva x vs. t no ponto P. Fonte: Fonte: す じ に く シ チ ュ ー.

Você pode imaginar como obter o limite se o ponto Q for aproximado aos poucos do ponto P. Chegará o tempo em que os dois pontos estarão tão próximos que você não conseguirá distinguir um do outro.

A linha que os une passará de secante (linha que se cruza em dois pontos) para tangente (linha que toca a curva em apenas um ponto). Portanto, para encontrar a velocidade instantânea de uma partícula em movimento, devemos ter:

• O gráfico da posição da partícula em função do tempo. Encontrando a inclinação da reta tangente à curva em cada instante de tempo, temos a velocidade instantânea em cada ponto ocupado pela partícula.

O bem:

• A função posição da partícula x (t), que é derivada para obter a função velocidade v (t), então essa função é avaliada a cada tempo t, por conveniência. A função de posição é considerada diferenciável.

Alguns casos especiais no cálculo da velocidade instantânea

-A inclinação da linha tangente à curva em P é 0. Uma inclinação nula significa que o móvel está parado e que sua velocidade é, naturalmente, 0.

-A inclinação da linha tangente à curva em P é maior que 0. A velocidade é positiva. No gráfico acima, significa que o celular está se afastando de O.

-A inclinação da linha tangente à curva em P é menor que 0. A velocidade seria negativa. No gráfico acima, esses pontos não existem, mas neste caso a partícula estaria se aproximando de O.

-A inclinação da linha tangente à curva é constante em P e em todos os outros pontos. Neste caso o gráfico é uma linha reta e o móvel possui movimento retilíneo uniforme MRU (sua velocidade é constante).

Em geral, a função v (t) também é uma função do tempo, que por sua vez pode ter uma derivada. E se não fosse possível encontrar as derivadas das funções x (t) ev (t)?

No caso de x (t), pode ser que a inclinação - a velocidade instantânea - mude de sinal abruptamente. Ou que iria de zero para um valor diferente imediatamente.

Nesse caso, o gráfico x (t) apresentaria pontos ou cantos nos locais de mudanças repentinas. Muito diferente do caso representado na imagem anterior, em que a curva x (t) é uma curva suave, sem pontos, cantos, descontinuidades ou mudanças bruscas.

A verdade é que para móbiles reais, as curvas suaves são as que melhor representam o comportamento do objeto.

O movimento em geral é bastante complexo. Os móbiles podem ser parados por um tempo, acelerar do repouso para ter uma velocidade e se afastar do ponto inicial, manter a velocidade por um tempo, então frear para parar novamente e assim por diante.

Novamente, eles podem começar de novo e continuar na mesma direção. Opere o inverso e retorne. Isso é chamado de movimento variado em uma dimensão.

Aqui estão alguns exemplos de cálculo da velocidade instantânea para esclarecer o uso das definições fornecidas:

Exercícios resolvidos de velocidade instantânea

Exercício 1

Uma partícula se move ao longo de uma linha reta com a seguinte lei do movimento:

Todas as unidades estão no Sistema Internacional. Encontrar:

a) A posição da partícula em t = 3 segundos.

b) A velocidade média no intervalo entre t = 0 se t = 3 s.

c) A velocidade média no intervalo entre t = 0 se t = 3 s.

d) A velocidade instantânea da partícula da questão anterior, em t = 1 s.

Respostas

a) Para encontrar a posição da partícula, a lei do movimento (função posição) é avaliada em t = 3:

x (3) = (-4/3).3 ³ + 2. 3 ² ₊ 6,3 - 10 m = -10 m

Não há problema que a posição seja negativa. O sinal (-) indica que a partícula está à esquerda da origem O.

b) No cálculo da velocidade média, são necessárias as posições final e inicial da partícula nos tempos indicados: x (3) e x (0). A posição em t = 3 é x (3) e é conhecida pelo resultado anterior. A posição em t = 0 segundos é x (0) = -10 m.

Como a posição final é igual à posição inicial, conclui-se imediatamente que a velocidade média é 0.

c) A velocidade média é a relação entre a distância percorrida e o tempo gasto. Agora, a distância é o módulo ou magnitude do deslocamento, portanto:

distância = -x2 - x1- = --10 - (-10) - m = 20 m

Observe que a distância percorrida é sempre positiva.

v _{m = 20 m / 3 s = 6,7 m / s}

d) Aqui é necessário encontrar a primeira derivada da posição em relação ao tempo. Em seguida, é avaliado por t = 1 segundo.

x '(t) = -4 t ² + 4 t + 6

x '(1) = -4,1 ² + 4,1 + 6 m / s = 6 m / s

Exercício 2

Abaixo está o gráfico da posição de um celular em função do tempo. Encontre a velocidade instantânea em t = 2 segundos.

Gráfico de posição versus tempo para um celular. Fonte: self made.

Resposta

Desenhe a linha tangente à curva em t = 2 segundos e, a seguir, encontre sua inclinação, tomando quaisquer dois pontos da linha.

Para calcular a velocidade instantânea no ponto indicado, desenhe a linha tangente a esse ponto e encontre sua inclinação. Fonte: self made.

Neste exemplo tomaremos dois pontos de fácil visualização, cujas coordenadas são (2 s, 10 m) e o corte com o eixo vertical (0 s, 7 m):

Referências

1. Giancoli, D. Physics. Princípios com aplicativos. 6 ^ª Edição. Prentice Hall. 22-25.
2. Resnick, R. (1999). Fisica. Volume 1. Terceira edição em espanhol. México. Compañía Editorial Continental SA de CV 21-22.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Física para Ciência e Engenharia. Volume 1. 7 ^ma. Edição. México. Editores da Cengage Learning. 23-25.