SISTEMA OCTAL: HISTÓRIA, SISTEMA DE NUMERAÇÃO, CONVERSÕES - MATEMÁTICAS - 2024

O sistema octal é um sistema de numeração posicional de base oito (8); ou seja, consiste em oito dígitos, que são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Portanto, cada dígito de um número octal pode ter qualquer valor de 0 a 7. Os números octais eles são formados a partir de números binários.

Isso ocorre porque sua base é uma potência exata de dois (2). Ou seja, os números que pertencem ao sistema octal são formados quando são agrupados em três dígitos consecutivos, ordenados da direita para a esquerda, obtendo-se assim seu valor decimal.

História

O sistema octal tem sua origem nos tempos antigos, quando as pessoas usavam as mãos para contar animais de oito a oito.

Por exemplo, para contar o número de vacas em um estábulo, uma passou a contar com a mão direita, unindo o polegar ao mínimo; Em seguida, para a contagem do segundo animal, juntou-se o polegar ao indicador e assim sucessivamente aos demais dedos de cada mão, até completar 8.

Existe a possibilidade de que em tempos antigos o sistema de numeração octal fosse usado antes do decimal para ser capaz de contar os espaços interdigitais; isto é, conte todos os dedos, exceto os polegares.

Posteriormente foi estabelecido o sistema de numeração octal, que se originou do sistema binário, pois necessita de muitos dígitos para representar apenas um número; a partir de então, foram criados os sistemas octal e hexagonal, que não requerem tantos dígitos e podem ser facilmente convertidos para o sistema binário.

Sistema de numeração octal

O sistema octal consiste em oito dígitos que vão de 0 a 7. Eles têm o mesmo valor que no caso do sistema decimal, mas seu valor relativo muda dependendo da posição que ocupam. O valor de cada posição é dado pelas potências da base 8.

As posições dos dígitos em um número octal têm os seguintes pesos:

8 ⁴, 8 ³, 8 ², 8 ¹, 8 ⁰, ponto octal, 8 ^-1, 8 ^-2, 8 ^-3, 8 ^-4, 8 ^-5.

O maior dígito octal é 7; assim, ao contar neste sistema, a posição de um dígito é aumentada de 0 para 7. Quando 7 é alcançado, ele é reciclado para 0 para a próxima contagem; desta forma, a próxima posição do dígito é aumentada. Por exemplo, para contar sequências, no sistema octal será:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
• 53, 54, 55, 56, 57, 60.
• 375, 376, 377, 400.

Existe um teorema fundamental que é aplicado ao sistema octal e é expresso da seguinte forma:

Nesta expressão di representa o dígito multiplicado pela potência da base 8, que indica o valor da casa de cada dígito, da mesma forma que está ordenado no sistema decimal.

Por exemplo, você tem o número 543,2. Para trazê-lo para o sistema octal, ele se divide da seguinte forma:

N = ∑ = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + (2 * 0,125)

N = 320 +32 + 2 + 0,25 = 354 + 0,25 _d

Assim, temos 543,2 _q = 354,25 _d. O subscrito q indica que é um número octal que também pode ser representado pelo número 8; e o subscrito d refere-se ao número decimal, que também pode ser representado pelo número 10.

Conversão do sistema octal para decimal

Para converter um número do sistema octal em seu equivalente no sistema decimal, basta multiplicar cada dígito octal por seu valor posicional, começando da direita.

Exemplo 1

732 ₈ = (7 _* 8 ²) + (3 _* 8 ¹) + (2 _* 8 ⁰) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732 ₈ = 448 +24 +2

732 ₈ = 474 ₁₀

Exemplo 2

26,9 ₈ = (2 _* 8 ¹) + (6 _* 8 ⁰) + (9 _* 8 ^-1) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0,125)

26,9 ₈ = 16 + 6 + 1,125

26,9 ₈ = 23,125 ₁₀

Conversão de sistema decimal para octal

Um inteiro decimal pode ser convertido em um número octal usando o método de divisão repetida, onde o inteiro decimal é dividido por 8 até que o quociente seja igual a 0, e os restos de cada divisão representarão o número octal.

Os resíduos são ordenados do último ao primeiro; ou seja, o primeiro resto será o dígito menos significativo do número octal. Dessa forma, o dígito mais significativo será o último resto.

Exemplo

Número Decimal Octal 266 ₁₀

- Divida o número decimal 266 por 8 = 266/8 = 33 + resto de 2.

- Em seguida, divida 33 por 8 = 33/8 = 4 + o resto de 1.

- Divida 4 por 8 = 4/8 = 0 + resto de 4.

Como na última divisão, um quociente menor que 1 é obtido, significa que o resultado foi encontrado; Basta ordenar os restos inversamente, para que o número octal do decimal 266 seja 412, como pode ser visto na imagem a seguir:

Conversão de octal para sistema binário

A conversão de octal em binário é feita convertendo o dígito octal em seu dígito binário equivalente, que consiste em três dígitos. Existe uma tabela que mostra como os oito dígitos possíveis são convertidos:

A partir dessas conversões, qualquer número do sistema octal para binário pode ser alterado, por exemplo, para converter o número 572 _8, procuramos seus equivalentes na tabela. Assim, você deve:

5 ₈ = 101

7 ₈ = 111

2 ₈ = 10

Portanto, 572 _{8 é} equivalente no sistema binário a 10111110.

Conversão de binário para octal

O processo de conversão de inteiros binários em inteiros octais é o inverso do processo anterior.

Ou seja, os bits do número binário são agrupados em dois grupos de três bits, começando da direita para a esquerda. Em seguida, a conversão de binário para octal é feita com a tabela acima.

Em alguns casos, o número binário não terá grupos de 3 bits; para completá-lo, um ou dois zeros são adicionados à esquerda do primeiro grupo.

Por exemplo, para alterar o número binário 11010110 para octal, faça o seguinte:

- Grupos de 3 bits são formados a partir da direita (último bit):

11010110

- Como o primeiro grupo está incompleto, um zero à esquerda é adicionado:

011010110

- A conversão é feita a partir da tabela:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

Assim, o número binário 011010110 é igual a 326 ₈.

Conversão de octal em hexadecimal e vice-versa

Para mudar de um número octal para hexadecimal ou de hexadecimal para octal, é necessário converter o número para binário primeiro e depois para o sistema desejado.

Para isso, existe uma tabela onde cada dígito hexadecimal é representado com seu equivalente no sistema binário, formado por quatro dígitos.

Em alguns casos, o número binário não terá grupos de 4 bits; para completá-lo, um ou dois zeros são adicionados à esquerda do primeiro grupo

Exemplo

Converta o número octal 1646 em número hexadecimal:

- Converta o número de octal para binário

1 ₈ = 1

6 ₈ = 110

4 ₈ = 100

6 ₈ = 110

- Então, 1646 ₈ = 1110100110.

- Para converter de binário em hexadecimal, eles são primeiro ordenados em um grupo de 4 bits, começando da direita para a esquerda:

11 1010 0110

- O primeiro grupo é completado com zeros, para que possa ter 4 bits:

0011 1010 0110

- A conversão de binário para hexadecimal é feita. As equivalências são substituídas por meio da tabela:

0011 = 3

1010 = A

0110 = 6

Assim, o número octal 1646 é igual a 3A6 no sistema hexadecimal.

Referências

1. Bressan, AE (1995). Introdução aos sistemas de numeração. Universidade Argentina da Empresa.
2. Harris, JN (1957). Introdução aos sistemas de numeração binários e octais: Lexington, Mass. Armed Services Technical Information Agency.
3. Kumar, AA (2016). Fundamentos de Circuitos Digitais. Learning Pvt.
4. Peris, XC (2009). Sistemas Operativos Únicos.
5. Ronald J. Tocci, NS (2003). Sistemas digitais: princípios e aplicações. Pearson Education.