MOMENTO DE INÉRCIA: FÓRMULAS, EQUAÇÕES E EXEMPLOS DE CÁLCULO - FISICA - 2025

O momento de inércia de um corpo rígido em relação a um determinado eixo de rotação representa sua resistência à mudança de sua velocidade angular em torno do referido eixo. É proporcional à massa e também à localização do eixo de rotação, pois o corpo, dependendo de sua geometria, pode girar mais facilmente em torno de certos eixos do que em outros.

Suponha um grande objeto (consistindo em muitas partículas) que pode girar em torno de um eixo. Suponha que atue uma força F, aplicada tangencialmente sobre o elemento de massa Δm _i, que produz um torque ou momento, dado por τ _net = ∑ r _i x F _i. O vetor r _i é a posição de Δm _i (veja a figura 2).

Figura 1. Momentos de inércia de várias figuras. Fonte: Wikimedia Commons.

Este momento é perpendicular ao plano de rotação (direção + k = saindo do papel). Uma vez que a força e o vetor de posição radial são sempre perpendiculares, o produto vetorial permanece:

τ _net = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i) k

Figura 2. Uma partícula pertencente a um sólido rígido em rotação. Fonte: Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. Volume 1. Cengage Learning.

A aceleração a _i representa a componente tangencial da aceleração, uma vez que a aceleração radial não contribui para o torque. Em função da aceleração angular α, podemos indicar que:

Portanto, o torque líquido se parece com isto:

τ _net = ∑ Δm _i (α r _i ²) k = (∑ r _i ² Δm _i) α k

A aceleração angular α é a mesma para todo o objeto, portanto não é afetada pelo subscrito “i” e pode sair do somatório, que é justamente o momento de inércia do objeto simbolizado pela letra I:

Este é o momento de inércia de uma distribuição de massa discreta. Quando a distribuição é contínua, a soma é substituída por uma integral e Δm se torna um diferencial de massa dm. A integral é realizada sobre todo o objeto:

As unidades para o momento de inércia no Sistema Internacional SI são kg xm ². É uma quantidade escalar e positiva, pois é o produto de uma massa pelo quadrado de uma distância.

Exemplos de cálculo

Um objeto estendido, como uma barra, disco, esfera ou outro, cuja densidade ρ é constante e sabendo que a densidade é a razão massa-volume, o diferencial de massa dm é escrito como:

Substituindo na integral pelo momento de inércia, temos:

Esta é uma expressão geral, válida para um objeto tridimensional, cujo volume V e posição r são funções das coordenadas espaciais x, y e z. Observe que sendo constante, a densidade está fora da integral.

A densidade ρ também é conhecida como densidade aparente, mas se o objeto for muito plano, como uma folha ou muito fino e estreito como uma haste, outras formas de densidade podem ser usadas, vejamos:

- Para uma folha muito fina, a densidade a ser usada é σ, a densidade da superfície (massa por unidade de área) e dA é o diferencial de área.

- E se for uma barra fina, onde apenas o comprimento é relevante, utiliza-se a densidade de massa linear λ e um diferencial de comprimento, de acordo com o eixo utilizado como referência.

Nos exemplos a seguir, todos os objetos são considerados rígidos (não deformáveis) e têm densidade uniforme.

Momento de inércia de uma barra fina em relação a um eixo que passa por seu centro

Aqui vamos calcular o momento de inércia de uma barra fina, rígida, homogênea, de comprimento L e massa M, em relação a um eixo que passa pelo meio.

Primeiramente, é necessário estabelecer um sistema de coordenadas e construir uma figura com a geometria adequada, assim:

Figura 3. Geometria para cálculo do momento de inércia de uma haste fina em relação a um eixo vertical que passa por seu centro. Fonte: F. Zapata.

O eixo x ao longo da barra e o eixo y foram escolhidos como o eixo de rotação. O procedimento para estabelecer a integral também requer a escolha de um diferencial de massa na barra, denominado dm, que tem um comprimento diferencial dx e está localizado na posição arbitrária x, em relação ao centro x = 0.

De acordo com a definição de densidade de massa linear λ:

Como a densidade é uniforme, o que é válido para M e L, também é válido para dm e dx:

Por outro lado, o elemento de massa está na posição x, portanto, ao substituir essa geometria na definição, temos uma integral definida, cujos limites são as extremidades da barra de acordo com o sistema de coordenadas:

Substituindo a densidade linear λ = M / L:

Para encontrar o momento de inércia da barra em relação a outro eixo de rotação, por exemplo, um que passa por um de seus extremos, você pode usar o teorema de Steiner (ver exercício resolvido no final) ou realizar um cálculo direto semelhante ao mostrado aqui, mas modificando a geometria de forma adequada.

Momento de inércia de um disco em relação a um eixo que passa por seu centro

Um disco muito fino de espessura desprezível é uma figura plana. Se a massa for uniformemente distribuída por toda a superfície da área A, a densidade de massa σ é:

Ambos dm e dA correspondem à massa e à área do anel diferencial mostrado na figura. Assumiremos que toda a montagem gira em torno do eixo y.

Você pode imaginar que o disco é composto de muitos anéis concêntricos de raio r, cada um com seu respectivo momento de inércia. Somando as contribuições de todos os anéis até atingir o raio R, teremos o momento de inércia total do disco.

Figura 4. Geometria para cálculo do momento de inércia de um disco, em relação ao eixo axial. Fonte: F. Zapata.

Onde M representa toda a massa do disco. A área de um disco depende de seu raio r como:

Derivando em relação a r:

Substituindo o acima na definição de I:

Substituindo σ = M / (π.R ²), obtemos:

Momento de inércia de uma esfera sólida com cerca de um diâmetro

Uma esfera de raio R pode ser considerada como uma série de discos empilhados uns sobre os outros, onde cada disco de massa infinitesimal dm, raio re espessura dz, tem um momento de inércia dado por:

Para encontrar esse diferencial, simplesmente pegamos a fórmula da seção anterior e substituímos M e R por dm e r, respectivamente. Um disco como este pode ser visto na geometria da figura 5.

Figura 5. Geometria para calcular o momento de inércia de uma esfera sólida de raio R em relação a um eixo que passa por um diâmetro. Fonte: F. Zapata.

Ao somar todos os momentos infinitesimais de inércia dos discos empilhados, obtém-se o momento de inércia total da esfera:

O que é equivalente a:

Para resolver a integral, você precisa expressar dm de forma adequada. Como sempre, é obtido a partir da densidade:

O volume de um disco diferencial é:

A altura do disco é a espessura dz, enquanto a área da base é πr ², portanto:

E substituindo na integral proposta ficaria assim:

Mas antes de integrar, devemos observar que r –o raio do disco- depende de z e R –o raio da esfera-, como pode ser visto na figura 5. Usando o teorema de Pitágoras:

O que nos leva a:

Para integrar em toda a esfera, notamos que z varia entre –R e R, portanto:

Sabendo que ρ = M / V = ​​M / é finalmente obtido, após simplificar:

Momento de inércia de um cilindro sólido em relação ao eixo axial

Para este objeto, é utilizado um método semelhante ao utilizado para a esfera, só que desta vez é mais fácil se o cilindro for imaginado como sendo formado por cascas cilíndricas de raio r, espessura dr e altura H, como se fossem as camadas de uma cebola..

Figura 6. Geometria para cálculo do momento de inércia de um cilindro sólido de raio R em relação ao eixo axial. Fonte: Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. Volume 1. Cengage.

O volume dV de uma camada cilíndrica é:

Portanto, a massa da casca é:

Esta expressão é substituída na definição de momento de inércia:

A equação acima indica que o momento de inércia do cilindro não depende de seu comprimento, mas apenas de sua massa e raio. Se L mudasse, o momento de inércia em torno do eixo axial permaneceria o mesmo. Por este motivo, I do cilindro coincide com o do disco fino calculado anteriormente.

Momento de inércia de uma folha retangular em relação a um eixo que passa por seu centro

O eixo y horizontal foi escolhido como eixo de rotação. A figura abaixo mostra a geometria necessária para realizar a integração:

Figura 7. Geometria para cálculo do momento de inércia de uma placa retangular em relação a um eixo paralelo à placa e passando por seu centro. Fonte: F. Zapata.

O elemento de área marcado em vermelho é retangular. Sua área é base x altura, portanto:

Portanto, o diferencial de massa é:

Quanto à distância do elemento de área ao eixo de rotação, é sempre z. Substituímos tudo isso na integral do momento de inércia:

Agora, a densidade de massa superficial σ é substituída por:

E definitivamente se parece com isto:

Observe que é como uma barra fina.

Momento de inércia de uma folha quadrada em relação a um eixo que passa por seu centro

Para um quadrado com o lado L, na expressão anterior válida para um retângulo, basta substituir o valor de b pelo de L:

Teoremas do momento de inércia

Existem dois teoremas especialmente úteis para simplificar o cálculo de momentos de inércia em relação a outros eixos, o que poderia ser difícil de encontrar devido à falta de simetria. Esses teoremas são:

Teorema de Steiner

Também chamado de teorema dos eixos paralelos, relaciona o momento de inércia em relação a um eixo com outro que passa pelo centro de massa do objeto, desde que os eixos sejam paralelos. Para aplicá-lo, é necessário conhecer a distância D entre os dois eixos e, claro, a massa M do objeto.

Seja I _z o momento de inércia de um objeto estendido em relação ao eixo z, I _CM o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa (CM) do referido objeto, então é verdade que:

Ou na notação da seguinte figura: I _{z '} = I _z + Md ²

Figura 8. Teorema de Steiner ou eixos paralelos. Fonte: Wikimedia Commons. Jack See

Teorema dos eixos perpendiculares

Este teorema é aplicado a superfícies planas e funciona assim: o momento de inércia de um objeto plano em torno de um eixo perpendicular a ele é a soma dos momentos de inércia em torno de dois eixos perpendiculares ao primeiro eixo:

Figura 9. Teorema dos eixos perpendiculares. Fonte: F. Zapata.

Se o objeto tem simetria tal que I _x e I _y são iguais, então é verdade que:

Exercício resolvido

Encontre o momento de inércia da barra em relação a um eixo que passa por uma de suas pontas, conforme mostrado na figura 1 (abaixo e à direita) e na figura 10.

Figura 10. Momento de inércia de uma barra homogênea em torno de um eixo que passa por uma extremidade. Fonte: F. Zapata.

Solução:

Já temos o momento de inércia da barra em torno de um eixo que passa por seu centro geométrico. Como a barra é homogênea, seu centro de massa está nesse ponto, então este será nosso I _CM para aplicar o teorema de Steiner.

Se o comprimento da barra é L, o eixo z está a uma distância D = L / 2, portanto:

Referências

1. Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Volume 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 190-200.
3. Teorema do Eixo Paralelo. Recuperado de: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. Volume 1. Cengage.
5. Sevilla University. Momento de inércia dos sólidos esféricos. Recuperado de: laplace.us.es.
6. Sevilla University. Momento de inércia de um sistema de partículas. Recuperado de: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Teorema do eixo paralelo. Recuperado de: en.wikipedia.org