- Como encontrar simetria axial
- Propriedades da simetria axial
- Exemplos de simetria axial
- Exercícios de simetria axial
- Exercício 1
- Exercício 2
- Exercício 3
- Exercício 4
- Referências
A simetria axial é quando os pontos de uma figura coincidem com os pontos de outra figura por uma bissetriz reta chamada eixo de simetria. Também é chamada de simetria radial, rotacional ou cilíndrica.
Geralmente é aplicado em figuras geométricas, mas é facilmente observável na natureza, já que existem animais como borboletas, escorpiões, joaninhas ou humanos que apresentam simetria axial.
A simetria axial é exibida nesta foto do horizonte da cidade de Toronto e seu reflexo na água. (Fonte: pixabay)
Como encontrar simetria axial
Para encontrar a simetria axial P 'de um ponto P em relação a uma linha (L), as seguintes operações geométricas são realizadas:
1.- A perpendicular à linha (L) que passa pelo ponto P.
2.- A interceptação das duas linhas determina um ponto O.
3.- Mede-se o comprimento do segmento PO, a seguir este comprimento é copiado sobre a reta (PO) partindo de O na direção de P para O, determinando o ponto P '.
4.- O ponto P 'é o eixo simétrico do ponto P em relação ao eixo (L), visto que a reta (L) é a bissetriz do segmento PP', sendo O o ponto médio desse segmento.
Figura 1. Dois pontos P e P 'são axialmente simétricos a um eixo (L) se o referido eixo for uma bissetriz do segmento PP'
Propriedades da simetria axial
- A simetria axial é isométrica, ou seja, as distâncias de uma figura geométrica e sua correspondente simetria são preservadas.
- A medida de um ângulo e sua simétrica são iguais.
- A simetria axial de um ponto no eixo de simetria é o próprio ponto.
- A linha simétrica de uma linha paralela ao eixo de simetria é também uma linha paralela ao referido eixo.
- Uma linha secante ao eixo de simetria tem como linha simétrica outra linha secante que, por sua vez, intercepta o eixo de simetria no mesmo ponto da linha original.
- A imagem simétrica de uma linha é outra linha que forma um ângulo com o eixo de simetria da mesma medida da linha original.
- A imagem simétrica de uma linha perpendicular ao eixo de simetria é outra linha que se sobrepõe à primeira.
- Uma linha e sua linha simétrica axial formam um ângulo cuja bissetriz é o eixo de simetria.
Figura 2. A simetria axial preserva distâncias e ângulos.
Exemplos de simetria axial
A natureza exibe exemplos abundantes de simetria axial. Por exemplo, você pode ver a simetria de rostos, insetos como borboletas, o reflexo em superfícies de águas calmas e espelhos ou folhas de plantas, entre muitos outros.
Figura 3. Esta borboleta exibe uma simetria axial quase perfeita. (Fonte: pixabay)
Figura 4. O rosto dessa menina possui simetria axial. (Fonte: pixabay)
Exercícios de simetria axial
Exercício 1
Temos o triângulo de vértices A, B e C cujas coordenadas cartesianas são respectivamente A = (2, 5), B = (1, 1) e C = (3,3). Encontre as coordenadas cartesianas do triângulo simétrico em relação ao eixo Y (eixo das ordenadas).
Solução: Se um ponto P tem coordenadas (x, y), então sua simétrica em relação ao eixo das ordenadas (eixo Y) é P '= (- x, y). Em outras palavras, o valor de sua abscissa muda de sinal, enquanto o valor da ordenada permanece o mesmo.
Neste caso, o triângulo simétrico com vértices A ', B' e C 'terá coordenadas:
A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) e C' = (- 3, 3), como pode ser visto na figura 6.
Figura 6. Se um ponto possui coordenadas (x, y), sua simétrica em relação ao eixo Y (eixo das ordenadas) terá coordenadas (-x, y).
Exercício 2
Com referência ao triângulo ABC e seu A'B'C 'simétrico do exercício 1, verifique se os lados correspondentes do triângulo original e seu simétrico têm o mesmo comprimento.
Solução: Para encontrar a distância ou comprimento dos lados usamos a fórmula da distância euclidiana:
d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (Por - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123
O comprimento do lado simétrico correspondente A'B 'é calculado abaixo:
d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (Por'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123
Desta forma, verifica-se que a simetria axial preserva a distância entre dois pontos. O procedimento pode ser repetido para os outros dois lados do triângulo e sua simetria para verificar a invariância de comprimento. Por exemplo -AC- = -A'C'- = √5 = 2.236.
Exercício 3
Em relação ao triângulo ABC e seu A'B'C 'simétrico do Exercício 1, verifique se os ângulos correspondentes do triângulo original e seu simétrico têm a mesma medida angular.
Solução: Para determinar as medidas dos ângulos BAC e B'A'C ', primeiro calcularemos o produto escalar dos vetores AB com AC e depois o produto escalar de A'B' com A'C '.
Lembrando que:
A = (2, 5), B = (1, 1) e C = (3,3)
A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) e C' = (- 3, 3).
Se tem:
AB = <1-2, 1-5> e AC = <3-2, 3-5>
similarmente
A'B ' = <-1 + 2, 1-5> e AC = <-3 + 2, 3-5>
Em seguida, os seguintes produtos escalares são encontrados:
AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7
similarmente
A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7
A medida do ângulo BAC é:
∡BAC = ArcCos (AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC-)) =
ArcCos (7 / (4.123⋅2.236)) = 40.6º
Da mesma forma, a medida do ângulo B'A'C 'é:
∡B'A'C '= arccos (A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'-)) =
ArcCos (7 / (4.123⋅2.236)) = 40.6º
Concluindo que a simetria axial preserva a medida dos ângulos.
Exercício 4
Seja um ponto P de coordenadas (a, b). Encontre as coordenadas de sua simetria axial P 'em relação à linha y = x.
Solução: Chamaremos (a ', b') as coordenadas do ponto simétrico P 'em relação à reta y = x. O ponto médio M do segmento PP 'tem coordenadas ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) e também está na linha y = x, portanto, a seguinte igualdade é válida:
a + a '= b + b'
Por outro lado, o segmento PP 'tem inclinação -1 porque é perpendicular à reta y = x com inclinação 1, portanto, a seguinte igualdade é válida:
b - b '= a' -a
Resolvendo para as duas igualdades anteriores a 'e b', conclui-se que:
a '= por que b' = a.
Ou seja, dado um ponto P (a, b), sua simetria axial em relação à reta y = x é P '(b, a).
Referências
- Arce M., Blázquez S e outros. Transformações do plano. Recuperado de: educutmxli.files.wordpress.com
- Cálculo cc. Simetria axial. Recuperado de: calculo.cc
- Superprof. Simetria axial. Recuperado de: superprof.es
- wikipedia. Simetria axial. Recuperado de: es.wikipedia.com
- wikipedia. Simetria circular. Recuperado de: en.wikipedia.com