TEOREMA DE BOLZANO: EXPLICAÇÃO, APLICAÇÕES E EXERCÍCIOS - MATEMÁTICAS - 2025

O teorema de Bolzano afirma que se uma função é contínua em todos os pontos de um intervalo fechado e está satisfeita que a imagem de "a" e "b" (sob a função) têm sinais opostos, então haverá pelo menos um ponto " c "no intervalo aberto (a, b), de forma que a função avaliada em" c "seja igual a 0.

Este teorema foi enunciado pelo filósofo, teólogo e matemático Bernard Bolzano em 1850. Este cientista, nascido na atual República Tcheca, foi um dos primeiros matemáticos da história a fazer uma prova formal das propriedades das funções contínuas.

Explicação

O teorema de Bolzano também é conhecido como teorema dos valores intermediários, que ajuda a determinar valores específicos, particularmente zeros, de certas funções reais de uma variável real.

Em uma dada função f (x) continua - isto é, que f (a) e f (b) são conectados por uma curva -, onde f (a) está abaixo do eixo x (é negativo) e f (b) por acima do eixo x (é positivo), ou vice-versa, graficamente haverá um ponto de corte no eixo x que representará um valor intermediário «c», que estará entre «a» e «b», e o valor de f (c) será igual a 0.

Ao analisar graficamente o teorema de Bolzano, pode ser visto que para cada função contínua f definida em um intervalo, onde f (a) _* f (b) é menor que 0, haverá pelo menos uma raiz «c» dessa função dentro do intervalo (a, b).

Este teorema não estabelece o número de pontos nesse intervalo aberto, ele apenas afirma que há pelo menos 1 ponto.

Demonstração

Para provar o teorema de Bolzano, assume-se sem perda de generalidade que f (a) <0 e f (b)> 0; assim, pode haver muitos valores entre "a" e "b" para os quais f (x) = 0, mas apenas um precisa ser mostrado.

Começamos avaliando f no ponto médio (a + b) / 2. Se f ((a + b) / 2) = 0 então a prova termina aqui; caso contrário, então f ((a + b) / 2) é positivo ou negativo.

É escolhida uma das metades do intervalo, de forma que os sinais da função avaliada nos extremos sejam diferentes. Este novo intervalo será.

Agora, se f avaliado no ponto médio de não for zero, então a mesma operação de antes é realizada; ou seja, é escolhida metade desse intervalo que atende à condição dos sinais. Que este seja o novo intervalo.

Se você continuar com este processo, você terá duas sequências {an} e {bn}, tais que:

{an} está aumentando e {bn} está diminuindo:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Se você calcular a duração de cada intervalo, você terá que:

b1-a1 = (ba) / 2.

b2-a2 = (ba) / 2².

…

bn-an = (ba) / 2 ^ n.

Portanto, o limite conforme n se aproxima do infinito de (bn-an) é igual a 0.

Usando que {an} é crescente e limitado e {bn} é decrescente e limitado, temos que existe um valor «c» tal que:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤….≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

O limite de um é "c" e o limite de {bn} também é "c". Portanto, dado qualquer δ> 0, sempre há um "n" tal que o intervalo está contido dentro do intervalo (c-δ, c + δ).

Agora, deve ser mostrado que f (c) = 0.

Se f (c)> 0, então, como f é contínuo, existe um ε> 0 tal que f é positivo em todo o intervalo (c - ε, c + ε). No entanto, como mencionado acima, há um valor "n" tal que f muda de sinal e, além disso, está contido em (c - ε, c + ε), o que é uma contradição.

Se f (c) <0, então, como f é contínuo, existe um ε> 0 tal que f é negativo em todo o intervalo (c - ε, c + ε); mas existe um valor "n" de modo que f muda o login. Acontece que ele está contido em (c - ε, c + ε), o que também é uma contradição.

Portanto, f (c) = 0 e isso é o que queríamos provar.

Para que serve?

A partir de sua interpretação gráfica, o teorema de Bolzano é utilizado para encontrar raízes ou zeros em uma função contínua, através da bissecção (aproximação), que é um método de busca incremental que sempre divide os intervalos por 2.

Então é feito um intervalo ou onde ocorre a mudança de sinal, e o processo é repetido até que o intervalo seja cada vez menor, para poder se aproximar do valor desejado; ou seja, para o valor que a função torna 0.

Em resumo, para aplicar o teorema de Bolzano e assim encontrar as raízes, limitar os zeros de uma função ou dar uma solução para uma equação, as seguintes etapas são realizadas:

- É verificado se f é uma função contínua no intervalo.

- Se o intervalo não for dado, deve-se encontrar onde a função é contínua.

- É verificado se os extremos do intervalo dão sinais opostos quando avaliados em f.

- Se não forem obtidos sinais opostos, o intervalo deve ser dividido em dois subintervalos usando o ponto médio.

- Avalie a função no ponto médio e verifique se a hipótese de Bolzano é satisfeita, onde f (a) _* f (b) <0.

- Dependendo do sinal (positivo ou negativo) do valor encontrado, o processo é repetido com um novo subintervalo até que a hipótese acima seja atendida.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Determine se a função f (x) = x ² - 2, tem pelo menos uma solução real no intervalo.

Solução

Temos a função f (x) = x ² - 2. Por ser polinomial, significa que é contínuo em qualquer intervalo.

Pede-se que determine se há uma solução real no intervalo, portanto agora só é necessário substituir os extremos do intervalo na função para saber o sinal destes e saber se cumprem a condição de serem diferentes:

f (x) = x ² - 2

f (1) = 1 ² - 2 = -1 (negativo)

f (2) = 2 ² - 2 = 2 (positivo)

Portanto, sinal de f (1) ≠ sinal f (2).

Isso garante que haja pelo menos um ponto "c" pertencente ao intervalo, no qual f (c) = 0.

Neste caso, o valor de "c" pode ser facilmente calculado da seguinte forma:

x ² - 2 = 0

x = ± √2.

Assim, √2 ≈ 1,4 pertence ao intervalo e cumpre que f (√2) = 0.

Exercício 2

Mostre que a equação x ⁵ + x + 1 = 0 tem pelo menos uma solução real.

Solução

Vamos primeiro observar que f (x) = x ⁵ + x + 1 é uma função polinomial, o que significa que é contínua em todos os números reais.

Neste caso, nenhum intervalo é dado, então os valores devem ser escolhidos intuitivamente, de preferência próximos de 0, para avaliar a função e encontrar as mudanças de sinal:

Se você usar o intervalo, você deve:

f (x) = x ⁵ + x + 1.

f (0) = 0 ⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1 ⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Como não há mudança de sinal, o processo se repete com outro intervalo.

Se você usar o intervalo, você deve:

f (x) = x ⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1) ⁵ + (-1) + 1 = -1 <0.

f (0) = 0 ⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

Neste intervalo há uma mudança de sinal: sinal de f (-1) ≠ sinal de f (0), o que significa que a função f (x) = x ⁵ + x + 1 tem pelo menos uma raiz real «c» no intervalo, tal que f (c) = 0. Em outras palavras, é verdade que x ⁵ + x + 1 = 0 tem uma solução real no intervalo.

Referências

1. Bronshtein I, SK (1988). Manual de Matemática para Engenheiros e Alunos.. Editorial MIR.
2. George, A. (1994). Matemática e Mente. Imprensa da Universidade de Oxford.
3. Ilín V, PE (1991). Analise matemática. Em três volumes..
4. Jesús Gómez, FG (2003). Professores do Ensino Médio. Volume II. LOUCO.
5. Mateos, ML (2013). Propriedades básicas da análise em R. Editores, 20 de dezembro.
6. Piskunov, N. (1980). Cálculo diferencial e integral..
7. Sydsaeter K., HP (2005). Matemática para Análise Econômica. Felix Varela.
8. William H. Barker, RH (nd). Simetria contínua: de Euclides a Klein. American Mathematical Soc.