TEOREMA DE EUCLIDES: PROVA, APLICAÇÃO E EXERCÍCIOS - MATEMÁTICAS - 2024

O teorema de Euclides mostra as propriedades de um triângulo ao traçar uma linha que o divide em dois novos triângulos semelhantes e, por sua vez, semelhantes ao triângulo original; então, há uma relação de proporcionalidade.

Euclides foi um dos maiores matemáticos e geômetras da antiguidade, que realizou várias provas de teoremas importantes. Um dos principais é o que leva seu nome, que teve ampla aplicação.

Isso porque, por meio desse teorema, ele explica de maneira simples as relações geométricas existentes no triângulo retângulo, onde as pernas do triângulo estão relacionadas com suas projeções na hipotenusa.

Fórmulas e demonstração

O teorema de Euclides propõe que em todo triângulo retângulo, quando uma linha é desenhada - que representa a altura que corresponde ao vértice do ângulo reto em relação à hipotenusa - dois triângulos retângulos são formados a partir do original.

Esses triângulos serão semelhantes entre si e também serão semelhantes ao triângulo original, o que significa que seus lados semelhantes são proporcionais entre si:

Os ângulos dos três triângulos são congruentes; isto é, quando eles são girados 180 graus em torno de seu vértice, um ângulo coincide com o outro. Isso implica que eles serão todos iguais.

Dessa forma, a semelhança que existe entre os três triângulos também pode ser verificada pela igualdade de seus ângulos. Pela semelhança dos triângulos, Euclides estabelece as proporções destes a partir de dois teoremas:

- Teorema da altura.

- Teorema das pernas.

Este teorema tem ampla aplicação. Antigamente era usado para calcular alturas ou distâncias, representando um grande avanço para a trigonometria.

Atualmente é aplicado em diversas áreas que se baseiam na matemática, como engenharia, física, química e astronomia, entre muitas outras áreas.

Teorema da altura

Neste teorema é estabelecido que em qualquer triângulo retângulo, a altura traçada a partir do ângulo reto em relação à hipotenusa é a média proporcional geométrica (o quadrado da altura) entre as projeções das pernas que ela determina na hipotenusa.

Ou seja, o quadrado da altura será igual à multiplicação das pernas projetadas que formam a hipotenusa:

h _c ² = m _* n

Demonstração

Dado um triângulo ABC, que está bem no vértice C, traçar a altura gera dois triângulos retângulos semelhantes, ADC e BCD; portanto, seus lados correspondentes são proporcionais:

De forma que a altura h _c que corresponde ao segmento CD, corresponde à hipotenusa AB = c, assim temos:

Por sua vez, isso corresponde a:

Resolvendo pela hipotenusa (h _c), para multiplicar os dois membros da igualdade, temos:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c ² = m _* n

Assim, o valor da hipotenusa é dado por:

Teorema da perna

Nesse teorema, fica estabelecido que, em cada triângulo retângulo, a medida de cada perna será a média proporcional geométrica (o quadrado de cada perna) entre a medida da hipotenusa (completa) e a projeção de cada uma sobre ela:

b ² = c _* m

a ² = c _* n

Demonstração

Dado um triângulo ABC, que está bem no vértice C, de forma que sua hipotenusa seja c, ao traçar a altura (h) são determinadas as projeções das pernas aeb, que são os segmentos m e n respectivamente, e que se encontram sobre a hipotenusa.

Assim, a altura desenhada no triângulo retângulo ABC gera dois triângulos retângulos semelhantes, ADC e BCD, de modo que os lados correspondentes são proporcionais, assim:

DB = n, que é a projeção da perna CB na hipotenusa.

AD = m, que é a projeção da perna AC na hipotenusa.

Então, a hipotenusa c é determinada pela soma das pernas de suas projeções:

c = m + n

Devido à semelhança dos triângulos ADC e BCD, temos:

O acima é o mesmo que:

Resolvendo a perna “a” para multiplicar os dois membros da igualdade, temos:

a _* a = c _* n

a ² = c _* n

Assim, o valor da perna "a" é dado por:

Da mesma forma, devido à semelhança dos triângulos ACB e ADC, temos:

O acima é igual a:

Resolvendo a perna "b" para multiplicar os dois membros da igualdade, temos:

b _* b = c _* m

b ² = c _* m

Assim, o valor da perna "b" é dado por:

Relação entre os teoremas de Euclides

Os teoremas relativos à altura e às pernas estão relacionados entre si porque a medida de ambos é feita em relação à hipotenusa do triângulo retângulo.

Através da relação dos teoremas de Euclides, o valor da altura também pode ser encontrado; isso é possível resolvendo os valores de m e n do teorema da perna e eles são substituídos no teorema da altura. Desta forma, cumpre-se que a altura é igual à multiplicação das pernas, dividida pela hipotenusa:

b ² = c _* m

m = b ² ÷ c

a ² = c _* n

n = a ² ÷ c

No teorema da altura, substituímos m e n:

h _c ² = m _* n

h _c ² = (b ² ÷ c) _* (a ² ÷ c)

h _c = (b ² _* a ²) ÷ c

Exercícios resolvidos

Exemplo 1

Dado o triângulo ABC, bem em A, determine a medida de AC e AD, se AB = 30 cm e BD = 18 cm

Solução

Nesse caso, temos as medidas de uma das pernas projetadas (BD) e de uma das pernas do triângulo original (AB). Desta forma, o teorema da perna pode ser aplicado para encontrar o valor da perna BC.

AB ² = BD _* BC

(30) ² = 18 _* AC

900 = 18 _* AC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

O valor da perna CD pode ser encontrado sabendo que BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Agora é possível determinar o valor da perna AC, aplicando o teorema da perna novamente:

AC ² = CD _* BD

AC ² = 32 _* 50

AC ² = 160

AC = √1600 = 40 cm

Para determinar o valor da altura (AD), o teorema da altura é aplicado, uma vez que os valores das pernas projetadas CD e BD são conhecidos:

AD ² = 32 _* 18

AD ² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Exemplo 2

Determine o valor da altura (h) de um triângulo MNL, bem em N, conhecendo as medidas dos segmentos:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Solução

Temos a medida de uma das pernas projetada na hipotenusa (PM), assim como as medidas das pernas do triângulo original. Desta forma, o teorema da perna pode ser aplicado para encontrar o valor da outra perna projetada (LN):

NL ² = PM _* LM

(10) ² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Como o valor das pernas e da hipotenusa já é conhecido, através da relação dos teoremas da altura e das pernas, o valor da altura pode ser determinado:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b ² _* a ²) ÷ c.

h = (10 ² _* 5 ²) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

Referências

1. Braun, E. (2011). Caos, fractais e coisas estranhas. Fundo de Cultura Econômica.
2. Cabrera, VM (1974). Modern Mathematics, Volume 3.
3. Daniel Hernandez, DP (2014). Matemática do 3º ano. Caracas: Santillana.
4. Encyclopaedia Britannica, i. (novecentos e noventa e cinco). Hispanic Encyclopedia: Macropedia. Editores da Enciclopédia Britânica.
5. Euclid, RP (1886). Elementos de geometria de Euclides.
6. Guardeño, AJ (2000). O legado da matemática: de Euclides a Newton, os gênios em seus livros. Sevilla University.