TRANSFORMAÇÕES ISOMÉTRICAS: COMPOSIÇÃO, TIPOS E EXEMPLOS - MATEMÁTICAS - 2024

As transformações isométricas são mudanças de posição ou orientação de uma dada figura que não alteram a forma ou o tamanho desta. Essas transformações são classificadas em três tipos: translação, rotação e reflexão (isometria). Em geral, as transformações geométricas permitem que você crie uma nova figura a partir de uma determinada figura.

Uma transformação em figura geométrica significa que, de alguma forma, ela sofreu alguma mudança; ou seja, foi alterado. De acordo com o sentido do original e do similar no plano, as transformações geométricas podem ser classificadas em três tipos: isométricas, isomórficas e anamórficas.

Caracteristicas

As transformações isométricas ocorrem quando as magnitudes dos segmentos e os ângulos entre a figura original e a figura transformada são preservados.

Nesse tipo de transformação, nem a forma nem o tamanho da figura se alteram (são congruentes), é apenas uma mudança de posição, seja na orientação, seja na direção. Desta forma, as figuras inicial e final serão semelhantes e geometricamente congruentes.

Isometria refere-se à igualdade; em outras palavras, as figuras geométricas serão isométricas se tiverem a mesma forma e tamanho.

Nas transformações isométricas, a única coisa que se observa é uma mudança de posição no plano, ocorre um movimento rígido graças ao qual a figura vai de uma posição inicial a uma final. Esta figura é chamada homóloga (semelhante) do original.

Existem três tipos de movimentos que classificam uma transformação isométrica: translação, rotação e reflexão ou simetria.

Tipos

Por tradução

São aquelas isometrias que permitem que todos os pontos do plano sejam movidos em linha reta em uma determinada direção e distância.

Quando uma figura é transformada por translação, ela não muda sua orientação em relação à posição inicial, nem perde suas medidas internas, as medidas de seus ângulos e lados. Este tipo de deslocamento é definido por três parâmetros:

- Uma direção, que pode ser horizontal, vertical ou oblíqua.

- Uma direção, que pode ser para a esquerda, direita, para cima ou para baixo.

- Distância ou magnitude, que é o comprimento da posição inicial até o final de qualquer ponto que se move.

Para que uma transformação isométrica por translação seja cumprida, as seguintes condições devem ser atendidas:

- A figura deve sempre manter todas as suas dimensões, lineares e angulares.

- A figura não muda de posição em relação ao eixo horizontal; isto é, seu ângulo nunca varia.

- As traduções serão sempre resumidas em uma, independentemente do número de traduções realizadas.

Em um plano onde o centro é um ponto O, com coordenadas (0,0), a translação é definida por um vetor T (a, b), que indica o deslocamento do ponto inicial. Quer dizer:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Por exemplo, se uma translação T (-4, 7) é aplicada ao ponto de coordenada P (8, -2), obtemos:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '= P' (4, 5)

Na imagem seguinte (à esquerda) pode-se ver como o ponto C se moveu para coincidir com D. Fez isso na direção vertical, a direção era para cima e a distância ou magnitude CD era de 8 metros. Na imagem da direita a translação de um triângulo é observada:

Por rotação

São aquelas isometrias que permitem que a figura gire todos os pontos de um plano. Cada ponto gira seguindo um arco que tem um ângulo constante e um ponto fixo (centro de rotação) determinado.

Ou seja, toda rotação será definida por seu centro de rotação e ângulo de rotação. Quando uma figura é transformada por rotação, ela mantém a medida de seus ângulos e lados.

A rotação ocorre em uma determinada direção, é positiva quando a rotação é no sentido anti-horário (direção oposta a como os ponteiros do relógio giram) e negativa quando a rotação é no sentido horário.

Se um ponto (x, y) for girado em relação à origem - ou seja, seu centro de rotação é (0,0) -, em um ângulo de 90 ^ou 360 ^ou as coordenadas dos pontos serão:

No caso em que a rotação não tem centro na origem, a origem do sistema de coordenadas deve ser transferida para a nova origem dada, a fim de poder girar a figura tendo a origem como centro.

Por exemplo, se P (-5,2) ponto é aplicado uma rotação de 90 ^ou, em torno da origem e positivamente suas novas coordenadas são (-2,5).

Por reflexão ou simetria

São aquelas transformações que invertem os pontos e as figuras do avião. Essa inversão pode ser em relação a um ponto ou também pode ser em relação a uma linha.

Ou seja, neste tipo de transformação, cada ponto da figura original é associado a outro ponto (imagem) da figura homóloga, de modo que o ponto e sua imagem fiquem à mesma distância de uma linha chamada eixo de simetria..

Assim, a parte esquerda da figura será um reflexo da parte direita, sem alterar sua forma ou dimensões. A simetria transforma uma figura em outra igual mas na direção oposta, como pode ser visto na imagem a seguir:

A simetria está presente em muitos aspectos, como em algumas plantas (girassóis), animais (pavão) e fenômenos naturais (flocos de neve). O ser humano reflete isso em seu rosto, o que é considerado um fator de beleza. A reflexão ou simetria podem ser de dois tipos:

Simetria central

É essa transformação que ocorre em relação a um ponto, no qual a figura pode mudar sua orientação. Cada ponto da figura original e sua imagem estão à mesma distância de um ponto O, denominado centro de simetria. A simetria é fundamental quando:

- Tanto o ponto como sua imagem e centro pertencem à mesma linha.

- Com uma rotação de 180 ^o do centro O, obtém-se um número igual ao original.

- As linhas da figura inicial são paralelas às linhas da figura formada.

- O sentido da figura não muda, será sempre no sentido horário.

Composição de uma rotação

A composição de duas voltas com o mesmo centro resulta em outra volta, que tem o mesmo centro e cuja amplitude será a soma das amplitudes das duas voltas.

Se o centro das curvas tiver um centro diferente, o corte da bissetriz de dois segmentos de pontos semelhantes será o centro da curva.

Composição de uma simetria

Nesse caso, a composição vai depender de como é aplicada:

- Se a mesma simetria for aplicada duas vezes, o resultado será uma identidade.

- Se duas simetrias forem aplicadas em relação a dois eixos paralelos, o resultado será uma translação, e seu deslocamento será o dobro da distância desses eixos:

- Se duas simetrias forem aplicadas em relação a dois eixos que se cruzam no ponto O (centro), uma rotação com centro em O será obtida e seu ângulo será o dobro do ângulo formado pelos eixos:

Referências

1. V Bourgeois, JF (1988). Materiais para construção de geometria. Madrid: Síntese.
2. Cesar Calavera, IJ (2013). Desenho Técnico II. Paraninfo SA: Edições da Torre.
3. Coxeter, H. (1971). Fundamentos de Geometria. México: Limusa-Wiley.
4. Coxford, A. (1971). Geometria Uma Abordagem de Transformação. EUA: Laidlaw Brothers.
5. Liliana Siñeriz, RS (2005). Indução e formalização no ensino de transformações rígidas no ambiente CABRI.
6. , PJ (1996). O grupo de isometrias do plano. Madrid: Síntese.
7. Suárez, AC (2010). Transformações no plano. Gurabo, Porto Rico: AMCT.