TRAPÉZIO ISÓSCELES: PROPRIEDADES, RELAÇÕES E FÓRMULAS, EXEMPLOS - MATEMÁTICAS - 2024

Um trapézio isósceles é um quadrilátero no qual dois dos lados são paralelos um ao outro e, além disso, os dois ângulos adjacentes a um desses lados paralelos têm a mesma medida.

Na figura 1 temos o quadrilátero ABCD, no qual os lados AD e BC são paralelos. Além disso, os ângulos ∠DAB e ∠ADC adjacentes ao lado paralelo AD têm a mesma medida α.

Figura 1. Trapézio isósceles. Fonte: F. Zapata.

Portanto, este quadrilátero, ou polígono de quatro lados, é na verdade um trapézio isósceles.

Em um trapézio, os lados paralelos são chamados de bases e os lados não paralelos são chamados de laterais. Outra característica importante é a altura, que é a distância que separa os lados paralelos.

Além do trapézio isósceles, existem outros tipos de trapézio:

-T escaleno rapezóide, que tem todos os seus ângulos e lados diferentes.

-Rapezóide retangular, em que um dos lados tem ângulos retos adjacentes.

A forma trapezoidal é comum em vários campos do design, arquitetura, eletrônica, cálculo e muitos mais, como será visto mais tarde. Daí a importância de se familiarizar com suas propriedades.

Propriedades

Exclusivo para trapézio isósceles

Se um trapézio é isósceles, ele tem as seguintes propriedades características:

1.- Os lados têm a mesma medida.

2.- Os ângulos adjacentes às bases são iguais.

3.- Os ângulos opostos são complementares.

4.- As diagonais têm o mesmo comprimento, sendo iguais os dois segmentos que unem os vértices opostos.

5.- Os ângulos formados entre as bases e as diagonais têm a mesma medida.

6.- Possui uma circunferência circunscrita.

Por outro lado, se um trapézio atender a qualquer uma das propriedades acima, então é um trapézio isósceles.

Se em um trapézio isósceles um dos ângulos for reto (90º), então todos os outros ângulos também estarão corretos, formando um retângulo. Ou seja, um retângulo é um caso particular de um trapézio isósceles.

Figura 2. O recipiente para pipocas e as mesas escolares têm o formato de um trapézio isósceles. Fonte: Pxfuel (esquerda) / McDowell Craig via Flickr. (certo)

Para todos os trapézios

O seguinte conjunto de propriedades é válido para qualquer trapézio:

7.- A mediana do trapézio, ou seja, o segmento que une os pontos médios de seus lados não paralelos, é paralela a qualquer uma das bases.

8.- O comprimento da mediana é igual ao semisum (soma dividida por 2) do de suas bases.

9.- A mediana de um trapézio corta suas diagonais no ponto médio.

10.- As diagonais de um trapézio se cruzam em um ponto que as divide em duas seções proporcionais aos quocientes das bases.

11.- A soma dos quadrados das diagonais de um trapézio é igual à soma dos quadrados de seus lados mais o duplo produto de suas bases.

12.- O segmento que une os pontos médios das diagonais tem um comprimento igual à semidiferença das bases.

13.- Os ângulos adjacentes às laterais são complementares.

14.- Um trapézio tem uma circunferência inscrita se e somente se a soma de suas bases for igual à soma de seus lados.

15.- Se um trapézio tem uma circunferência inscrita, então os ângulos com um vértice no centro dessa circunferência e os lados que passam pelas extremidades do mesmo lado são ângulos retos.

Relacionamentos e fórmulas

O seguinte conjunto de relações e fórmulas é referido na figura 3, onde além do trapézio isósceles são mostrados outros segmentos importantes já mencionados, como diagonais, altura e mediana.

Figura 3. Mediana, diagonais, altura e circunferência circunscrita em trapézio isósceles. Fonte: F. Zapata.

Relações únicas do trapézio isósceles

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA e ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º e ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- A, B, C e D pertencem ao círculo circunscrito.

Relacionamentos para qualquer trapézio

1. Se AK = KB e DL = LC ⇒ KL - AD e KL - BC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 e DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC e DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º e ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- Se AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R então equidistante de AD, BC, AB e DC

15.- Se ∃ R equidistante de AD, BC, AB e DC, então:

∡BRA = ∡DRC = 90º

Relações para trapézio isósceles com circunferência inscrita

Se em um trapézio isósceles a soma das bases é igual a duas vezes a lateral, então a circunferência inscrita existe.

Figura 4. Trapézio com circunferência inscrita. Fonte: F. Zapata.

As seguintes propriedades se aplicam quando o trapézio isósceles tem uma circunferência inscrita (ver figura 4 acima):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- As diagonais se cruzam em ângulos retos: AC ⊥ BD

18.- A altura é igual à mediana: HF = KL, ou seja, h = m.

19.- O quadrado da altura é igual ao produto das bases: h ² = BC⋅AD

20.- Nestas condições específicas, a área do trapézio é igual ao quadrado da altura ou produto das bases: Área = h ² = BC⋅AD.

Fórmulas para determinar um lado, conhecer os outros e um ângulo

Conhecendo uma base, a lateral e um ângulo, a outra base pode ser determinada por:

a = b + 2c Cos α

b = a - 2c Cos α

Se o comprimento das bases e um ângulo são dados como dados conhecidos, os comprimentos de ambos os lados são:

c = (a - b) / (2 Cos α)

Determinação de um lado, conhecendo os outros e uma diagonal

a = (d ₁ ² - c ²) / b;

b = (d ₁ ² - c ²) / a

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

Onde d ₁ é o comprimento das diagonais.

Base de altura, área e outra base

a = (2 A) / h - b

b = (2 A) / h - a

Bases laterais conhecidas, área e ângulo

c = (2A) /

Mediana lateral conhecida, área e ângulo

c = A / (m sin α)

Altura conhecida dos lados

h = √

Altura conhecida, ângulo e dois lados

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. sin α

Diagonais conhecidas de todos os lados, ou dois lados e um ângulo

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc Cos β)

Perímetro do triângulo isósceles

P = a + b + 2c

Área do trapézio isósceles

Existem várias fórmulas para o cálculo da área, dependendo dos dados conhecidos. O seguinte é o mais conhecido, dependendo das bases e da altura:

A = h⋅ (a + b) / 2

E você também pode usar estes outros:

-Se os lados são conhecidos

A = √

-Quando você tem dois lados e um ângulo

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

- Se o raio do círculo inscrito e um ângulo forem conhecidos

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen β

-Quando as bases e um ângulo são conhecidos

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-Se o trapézio pode ser inscrito uma circunferência

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

- Conheça as diagonais e o ângulo que elas formam entre si

A = (D ₁ ² /2) = γ Sen (d ₁ ² /2) Ô Sen

-Quando você tem a lateral, a mediana e um ângulo

A = mc.sen α = mc.sen β

Raio do círculo circunscrito

Apenas os trapézios isósceles têm circunferência circunscrita. Se a base maior a, a lateral c e a diagonal d _{1 são conhecidas}, então o raio R do círculo que passa pelos quatro vértices do trapézio é:

R = a⋅c⋅d ₁ /4√

Onde p = (a + c + d ₁) / 2

Exemplos de uso do trapézio isósceles

O trapézio isósceles aparece no campo do design, como visto na Figura 2. E aqui estão alguns exemplos adicionais:

Na arquitetura e construção

Os antigos incas conheciam o trapézio isósceles e o usaram como elemento de construção nesta janela em Cuzco, Peru:

Figura 5. Janela trapezoidal do Coricancha, Cuzco. Fonte: Wikimedia Commons.

E aqui o trapézio reaparece na chamada folha trapezoidal, um material muito utilizado na construção:

Figura 6. Folha de metal trapezoidal protegendo temporariamente as janelas de um edifício. Fonte: Wikimedia Commons.

Em design

Já vimos que o trapézio isósceles aparece em objetos do cotidiano, incluindo alimentos como esta barra de chocolate:

Figura 7. Barra de chocolate com faces em forma de trapézio isósceles. Fonte: Pxfuel.

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Um trapézio isósceles tem uma base maior que 9 cm, uma base menor que 3 cm e suas diagonais 8 cm cada. Calcular:

a parte, de lado

b) Altura

c) Perímetro

d) Área

Figura 8. Esquema do exercício 1. Fonte: F. Zapata

Solução para

A altura CP = h é traçada, onde o pé da altura define os segmentos:

PD = x = (ab) / 2 y

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Usando o teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo DPC:

c ² = H ² + (a - b) ² /4

E também para o triângulo retângulo APC:

d ² = H ² + AP ² = H ² + (a + b) ² /4

Finalmente, membro por membro é subtraído, a segunda equação da primeira e simplificada:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm

Solução b

h ² = D ² - (a + b) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ²) = 8 ² - 6 ² = 28

h = 2 √7 = 5,29 cm

Solução c

Perímetro = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6,083 = 24,166 cm

Solução d

Área = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm

- Exercício 2

Existe um trapézio isósceles cuja base maior é duas vezes menor e sua base menor é igual à altura, que é de 6 cm. Decidir:

a) O comprimento da lateral

b) Perímetro

c) Área

d) Ângulos

Figura 8. Esquema do exercício 2. Fonte: F. Zapata

Solução para

Dados: a = 12, b = a / 2 = 6 e h = b = 6

Procedemos desta forma: desenhamos a altura he aplicamos o teorema de Pitágoras ao triângulo de hipotenusa «c» e pernas he x:

c ² = h ² + xc ²

Então você tem que calcular o valor da altura a partir dos dados (h = b) e da perna x:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

Substituindo as expressões anteriores, temos:

c ² = b ² + (AB) ² /2 ²

Agora os valores numéricos são introduzidos e simplificados:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

Obtendo:

c = 3√5 = 6,71 cm

Solução b

O perímetro P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm

Solução c

A área em função da altura e comprimento das bases é:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm ²

Solução d

O ângulo α que a lateral forma com a base maior é obtido por trigonometria:

Tan (α) = h / x = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63,44º

O outro ângulo, aquele que forma a lateral com a base menor é β, que é complementar a α:

β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º

Referências

1. EA 2003. Elementos de geometria: com exercícios e geometria da bússola. University of Medellin.
2. Campos, F. 2014. Matemática 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. 2007. Discover Polygons. Empresa de educação de referência.
4. Hendrik, V. 2013. Generalized Polygons. Birkhäuser.
5. IGER. Matemática Primeiro Semestre Tacaná. IGER.
6. Geometria Jr. 2014. Polygons. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren e Hornsby. 2006. Mathematics: Reasoning And Applications. 10º. Edição. Pearson Education.
8. Patiño, M. 2006. Mathematics 5. Editorial Progreso.
9. Wikipedia. Trapézio. Recuperado de: es.wikipedia.com