TRIÂNGULO AGUDO: CARACTERÍSTICAS E TIPOS - MATEMÁTICAS - 2025

Os triângulos agudos são aqueles cujos três ângulos internos são ângulos agudos; ou seja, a medida de cada um desses ângulos é inferior a 90 ° graus. Por não ter nenhum ângulo reto, temos que o teorema de Pitágoras não vale para esta figura geométrica.

Portanto, se quisermos ter algum tipo de informação sobre algum de seus lados ou ângulos, é necessário fazer uso de outros teoremas que nos permitam ter acesso a esses dados. Os que podemos usar são o teorema do seno e o teorema do cosseno.

Caracteristicas

Dentre as características que esta figura geométrica possui, podemos destacar aquelas que se dão pelo simples fato de ser um triângulo. Entre estes temos:

- Um triângulo é um polígono que possui três lados e três ângulos.

- A soma dos três ângulos internos é igual a 180 °.

- A soma de dois de seus lados é sempre maior que o terceiro.

Como exemplo, vejamos o seguinte triângulo ABC. De maneira geral, identificamos seus lados com uma letra minúscula e seus ângulos com uma letra maiúscula, de forma que um lado e seu ângulo oposto tenham a mesma letra.

Pelas características já fornecidas, sabemos que:

A + B + C = 180 °

a + b> c, a + c> be b + c> a

A principal característica que distingue este tipo de triângulo dos demais é que, como já mencionamos, seus ângulos internos são agudos; ou seja, a medida de cada um de seus ângulos é menor que 90 °.

Os triângulos agudos, junto com os triângulos obtusos (aqueles em que um de seus ângulos tem medida maior que 90 °), fazem parte do conjunto dos triângulos oblíquos. Este conjunto é composto de triângulos que não são ângulos retos.

Como os triângulos oblíquos fazem parte, temos que ser capazes de resolver problemas envolvendo triângulos agudos, devemos fazer uso do teorema do seno e do teorema do cosseno.

Teorema do seno

O teorema do seno nos diz que a razão de um lado para o seno de seu ângulo oposto é igual a duas vezes o raio do círculo formado pelos três vértices do referido triângulo. Quer dizer:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

Teorema de Coseno

Por outro lado, o teorema do cosseno nos dá essas três igualdades para qualquer triângulo ABC:

a ² = b ² + c ² -2bc * cos (A)

b ² = a ² + c ² -2ac * cos (B)

c ² = a ² + b ² -2ab * cos (C)

Esses teoremas também são conhecidos como lei do seno e lei do cosseno, respectivamente.

Outra característica que podemos dar dos triângulos agudos é que dois deles são iguais se atendem a qualquer um dos seguintes critérios:

- Se eles tiverem os mesmos três lados.

- Se eles tiverem um lado e dois ângulos iguais entre si.

- Se eles tiverem dois lados iguais e um ângulo.

Tipos

Os triângulos agudos podem ser classificados de acordo com seus lados. Podem ser:

Triângulos agudos equilaterais

São os triângulos agudos que têm todos os seus lados iguais e, portanto, todos os seus ângulos internos têm o mesmo valor, que é A = B = C = 60 ° graus.

Como exemplo, vamos pegar o triângulo a seguir, cujos lados a, b e c têm o valor 4.

Triângulos agudos isósceles

Esses triângulos, além de apresentarem ângulos internos agudos, têm a característica de ter dois lados iguais e o terceiro, geralmente tomado como base, diferente.

Um exemplo deste tipo de triângulos pode ser aquele cuja base é 3 e seus outros dois lados têm o valor 5. Com essas medidas, ele teria os ângulos opostos aos lados iguais com o valor de 72,55 ° e o ângulo oposto de a base seria 34,9 °.

Triângulos agudos escalenos

Esses são os triângulos que têm lados diferentes dois a dois. Portanto, todos os seus ângulos, além de serem menores que 90 °, são diferentes de dois para dois.

O triângulo DEF (cujas medidas são d = 4, e = 5 ef = 6 e seus ângulos são D = 41,41 °, E = 55,79 ° e F = 82,8 °) é um bom exemplo de um triângulo agudo escaleno.

Resolução de triângulos agudos

Como dissemos antes, para resolver problemas envolvendo triângulos agudos é necessário usar os teoremas do seno e do cosseno.

Exemplo 1

Dado um triângulo ABC com ângulos A = 30 °, B = 70 ° e lado a = 5cm, queremos saber o valor do ângulo C e dos lados be c.

A primeira coisa que fazemos é usar o fato de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 °, para obter o valor do ângulo C.

180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C

Limpamos C e temos:

C = 180 ° - 100 ° = 80 °

Como já conhecemos os três ângulos e um lado, podemos usar o teorema do seno para determinar o valor dos lados restantes. Pelo teorema, temos:

a / sin (A) = b / sin (B) e a / sin (A) = c / (sin (C)

Isolamos b da equação e ficamos com:

b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0,940) / (0,5) ≈ 9,4

Agora só precisamos calcular o valor de c. Procedemos da mesma forma que no caso anterior:

c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0,984) / (0,5) ≈ 9,84

Assim, obtemos todos os dados do triângulo. Como podemos ver, este triângulo se enquadra na categoria de triângulo agudo escaleno.

Exemplo 2

Dado um triângulo DEF com lados d = 4cm, e = 5cm ef = 6cm, queremos saber o valor dos ângulos desse triângulo.

Para este caso, usaremos a lei do cosseno, que nos diz que:

d ² = e ² + f ² - 2efcos (D)

A partir dessa equação, podemos resolver para cos (D), o que nos dá como resultado:

Cos (D) = ((4) ² - (5) ² - (6) ²) / (- 2 * 5 * 6) = 0,75

Portanto, temos D≈ 41,41 °

Usando agora o teorema do senom, temos a seguinte equação:

d / (sin (D) = e / (sin (E)

Resolvendo para o pecado (E), temos:

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0,66) / 4 ≈ 0,827

Portanto, temos E≈55,79 °

Finalmente, usando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 °, temos F≈82,8 °.

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometria (ed. Reimpressão). Progresso.
2. Leake, D. (2006). Triângulos (edição ilustrada). Heinemann-Raintree.
3. Leal G. Juan Manuel. (2003). Geometria métrica plana. CODEPRE
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